数列の世界観です。
数列とは、順番に並んだ複数の数の並びのこと。
数列のn番目の数は\(a_n\)のように表現し、数列は\(a_1, a_2, a_3, \cdots a_N\)と表現する。この数列を\(\{a_n\}\)と表現する。
（以上は「現代数学への入門 微分と積分1 （青本和彦 岩波書店）」を参考に執筆しました。）
2023.02.03
数列の和は、以下のような「シグマ記号」で記述する。
\[ \sum_{ k = 1 }^{ n } a_k= a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n \]
このように、シグマを使うことで数列の「総和」を表現できる。
また、総和に対して、数列の積を計算する「総乗」という計算も存在する。
\[ \prod_{ k = 1 }^{ n} a_k= a_1 \times a_2 \times a_3 \times \cdots \times a_n \]
あるいは、単にnから1までの連続した整数の積を求めるならば、階乗を使って\(n!\)とも書ける。
\[ n! = \prod_{ k = 1 }^{ n } k = n \times (n - 1) \times \cdots \times 1 \]
たとえば、5の階乗は
\[ 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \]
のようになる。
2024.02.10-11編集
数列の中でも、なんらかの数を足し続けた数列のことを等差数列と言い、なんらかの数を掛け続けた数列のことを等比数列と言う。
たとえば、2, 4, 6, 8, 10, ...（常に2を足し続ける数列）などは等差数列であり、2, 4, 8, 16, 32, ...（常に2を掛け続ける数列）などは等比数列である。
2024.02.11編集
数列は単なる総和ではなく、「一般項」を求めることができる。
一般項は、数列の項を一般化し、n番目の項をnの式で表すことができ、ものすごく強力である。
一般項を使えば、ひとつひとつ加算していかなくても、ダイレクトにその項の値を出すことができる。
（詳しくは図解入門よくわかる高校数学の基本と仕組みが参考になります。）
漸化式とは、数列の項と項の関係性を表した式。
たとえば、フィボナッチ数列は、前の二つの項の値の和をその項の値とする数列である。
つまり、
\[ 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, \cdots \]
となる。この漸化式は、
\[ a_n = a_{n-2} + a_{n-1} \quad (n = 3, 4, 5 \cdots) \]
となる。
（以上は「現代数学への入門 微分と積分1 （青本和彦 岩波書店）」を参考に執筆しました。）
2023.02.03
無限個の項を持つ数列の和のことを「無限級数」あるいは単に「級数」と呼ぶ。項が有限個の場合は「有限級数」と呼ぶ。
級数の例として、
| 級数 | 説明 |
|---|---|
| テイラー級数 | 関数を級数として表現する（テイラー展開） |
| フーリエ級数 | 複雑な周期関数を、単純な周期性を持つ三角関数の級数として表現する（フーリエ展開） |
などがある。
2024.02.11